Sólidos de Kepler-Poinsot

Los sólidos de Kleper-Poinsot fueron estudiados y desarrollados por el matemático y astrónomo alemán Johannes Kepler (1571 – 1630), y en 1809, por el matemático y astrónomo francés Louis Poinsot. Quien completaría y mejoraría el trabajo de Kepler (de ahí que se llamen sólidos de Kepler o sólidos de Kepler-Poinsot).

En resumen, los sólidos Kepler – Poinsot, son cuatro y a diferencia de los sólidos platónicos que son regulares y convexos, estos son regulares y cóncavos. Un quinto elemento, juntamente con los sólidos de Kepler – Poinsot, se le suma el sólido conocido como la estrella octángula.

Johannes Kepler en 1619, obtuvo por estelación del dodecaedro convexo regular, primero tratándolo como una superficie en lugar de un sólido. Observó que al extender los bordes o caras del dodecaedro convexo hasta que se encontraran nuevamente, podía obtener pentágonos de estrellas. Además, reconoció que estos pentágonos de estrellas también eran regulares. Encontró dos dodecaedros estrellados de esta manera, el pequeño y el grande. Cada uno tiene la región convexa central de cada lado "oculta" con el interior, con solo el brazo triangular visible. El último paso de Kepler fue reconocer que estos poliedros coincidían con la definición de sólidos regulares, aunque no eran convexos, como lo eran los sólidos platónicos tradicionales.

Independientemente del trabajo de Kepler, el físico y matemático francés Louis Poinsot (1777-1859) estudió los mismos poliedros. Redescubrió en 1809, he introdujo dos más. Poinsot pensó que, si por el hecho de ser convexo se podía extender sin ningún problema el concepto de poliedro a un objeto que se autointersecase y donde las caras fueran estrellas, también podría hacer esto para los vértices y, en vez de hacer que los poliedros tuvieran los vértices habituales, fueran vértices también estrellados. En concreto Poisont obtuvo el gran dodecaedro, y el gran icosaedro; en los que las caras vuelven a ser pentágonos y triángulos regulares respectivamente mientras que los vértices tomaban figura vértice de pentagrama. (conservan el grupo de simetría del icosaedro); y demostrando mediante un argumento combinatorio que no hay otros.

Para más detalle pueden revisar el trabajo completo desarrollo por un grupo de mis estudiantes. Además de una caracterización de estos sólidos se introduce la construcción en Blender.